XINIT, XFINAL, YINIT e YFINAL

Questi valori stabiliscono il sottoinsieme del dominio della funzione da usare per visualizzare il suo grafico in 3D. Variando questi valori,  otteniamo che viene visualizzata un'altra zona del grafico in quanto è cambiato il campo di variabilità delle variabili indipendenti x e y.


La figura sopra mostra un esempio di in cui i valori estremi delle variabili x e y sono state cambiate (XINIT = -1, XFINAL = 1, YINIT = -1, YFINAL = 1), relativamente alla funzione paraboloid(x,y) := x^2 + y^2.

Questa figura rappresenta sempre la funzione paraboloid, ma i valori estremi di x sono 0 e 2 e con diverso colore per la figura.

nDivMesh

I grafici in 3D vengono realizzati tramite un insieme di superfici a forma di triangoli e maggiore sarà il loro numero e più fedele sarà la rappresentazione del grafico. Il numero di questi triangoli (detti triangoli mesh o maglia di triangoli) è determinato dal parametro nDivMesh il cui valore predefinito è visualizzato in questa scheda. Come esempio, la figura seguente mostra l'effetto di questo parametro nella visualizzazione di una superficie toroidale le cui equazioni sono già inserite nel programma e visualizzabili nella scheda visualizza tabelle . In questo caso si è posto nDivMesh := 5, minore del valore ottimale e che utilizza un numero limitato di triangolo mesh.



Diverso risultato si ottiene ponendo nDivMesh := 100, come mostra le figura seguente in cui la maglia di triangoli è aumentata notevolmente.

Valori limite lungo l'asse z: la parte di una immagine che viene visualizzata è compresa tra questi valori. Nota: questi valori non inflenzano la scala di una immagine.

Quando si disegna una curva nello spazio, questa viene approssimata tramite segmenti ed il numero di questi è stabilito da questo parametro che normalmente è superiore a 300. Riducendolo avremo una rappresentazione della curva meno precisa e più "spezzata".

Nella scena della  finestra 3D sono inserite tre luci di vario colore che illuminano i grafici, come abbiamo visto nelle immagini riportate sopra.
Tramite questi campi possiamo modificare le coordinate delle tre luci. A lato di ciascuna luce è visualizzato il corrispondente colore -modificabile- della luce, tramite un quadrato colorato. Per cambiare solo le coordinate di una luce, bisogna scrivere queste nella corrispondente area, tenedo presente che le coordinate devono essere separate da virgole e sono del tipo x, y, z. Per rendere effettive le modifiche, bisogna premere il tasto "applica modifiche".
Possiamo anche modificare il colore di ciascuna luce cliccando sul corrispondente quadrato colorato: in questo caso alla luce che si sta modificando verrà assegnato il colore selezionato nel box selezione colori della finestra 3D

Abbiamo visto come modificare alcuni parametri e gli effetti di queste modifiche sulle immagini visualizzate si avranno solo dopo aver cliccato su questa iciona.

In questa scheda sono riportati tutti gli oggetti matematici predefiniti e quelli definiti dall'utente. Abbiamo alcune costanti, come il numero E di Nepero e PI per pigreco, e alcune funzioni predefinite, come, per esempio, wave(x,y) che avremo modo di considerare in seguito.
Ogni volta che inseriamo un nuovo oggetto (funzione, sistema di equazioni parametriche, solidi,...) possiamo farlo visualizzare in questa scheda premendo l'icona aggiorna .

Tramite questo box è possibile, cliccandolo, selezionare il colore da utilizzare sia per le luci d'ambiente nella finestra 3D, sia per modificare il colore e lo sfondo di una superficie visualizzata nella stessa finestra.

Abbiamo visto che nell'area dei comandi della finestra principale possiamo inserire, tra le altre cose, alcuni comandi. In generale, un comando è del tipo:

comando nome: espressione
o
comando espressione;

Sono esempi di comandi i seguenti:

• cancella f Cancella la funzione f dalla memoria: 
• punto V2: 10,5, 7  Definisce il vunto V2 avente per coordinate x := 10, y := 5 e z := 7.
  

Incontreremo nel seguito alcuni esempi di comandi, mentre a fine manuale è riportato l'elenco di tutti i comandi.

Iniziamo...

Abbiamo descritto brevemente la struttura di MathPlace, riservandoci di parlare della geometria in seguito.Vedremo ora la parte del calcolo e dei grafici.

Definizione di una variabile

Nell'area comandi possiamo definire delle variabili e a queste possiamo assegnare anche un valore.
Scrivendo x := 2 (enter)
la variabile x viene registrata in una tabella, insieme al suo valore e possiamo,  in qualsiasi momento, far visualizzare il suo valore, scrivendo, sempre nell'area comandi, il suo nome, cioè x. Se la variabile esiste, verrà visualizzata, insieme al suo valore attuale. Esistono anche due costanti predefinite e sono PI per pigreco ed E per il numero di Nepero E := 2,718281828...

Esempio. Srivendo PI nell'area dei comandi, vedremo che verrà visualizzato il valore (naturalmente approssimato) nella stessa area:

PI = 3.141592653589793

Possiamo anche far visualizzare l'elenco delle variabili attualmente presenti in memoria, scrivendo il comando variabili. Ecco un possibile risultato di questo comando:



Qui vediamo che vengono visualizzate alcune costanti predefinite: E (numero di Nepero) e PI (pigreco), oltre a INF+ e INF-, mentre x è una variabile precedentemente definita a cui è stato assegnato un certo valore, valore che può essere modificato tramite l'area comandi.
E' possibile cancellare una  tramite il comando cancella (o del):

cancella nomevariabile

dove nomevariabile è il nome della variabile da cancellare.

Espressioni

E' possibile far valutare una espressione utilizzando l'area comandi.

Esempio. Scriviamo l'espressione:

10^3+5^(sin(1))

Il risultato sarà:

10^3+5^(sin(1)) = 1003,8740299855667

Una espressione può contenere una qualsiasi funzione precedentemente definita.
Esempio

wave(0,2)^2

è una espressione valida, dove wave(x, y) è una funzione predefinita la cui definizione può essere esplicitata scrivendo, nell'area comandi, il suo nome;
#wave
 (wave(x,y) := sin(x^2+y^2)).

Definizione di funzione o di sistema di funzioni parametriche

Si può definire una funzione normale semplicemente scrivendo (notare il simbolo di assegnazione ":=")

f(x) := espressione,         funzione in 2D

f(x,y) := espressione,     funzione in 3D

Esempio . Inserendo la funzione f(x,y) := sin(x^2)+cos(y^2) otteniamo la superficie:

Prova tu stesso

Nota. Quando inseriamo la definizione di f(x,y) nell'area comandi questa viene analizzata e, se corretta, inserita automaticamente nel box funzioni 3D in modo da poter ricavare il suo grafico.

Esempio

• Scriviamo, nell'area comandi: g(x,y) := 1/(x^2+y^2). Questa funzione, avendo due parametri, verrà automaticamente registrata nel Box funzioni 3D.
  
• Attiviamo la finestra grafici 3D, se non già attiva, tramite l'icona:
• Selezioniamo la funzione g dal Box funzioni 3D  e poi l'icona plot 3D:

Il risultato sarà la seguente immagine

Prova tu stesso

Funzione a tratti

E' possibile definire una funzione -in una sola variabile- a tratti, cioè dove l'epressione che la definisce varia a seconda dei vari sotto intervalli di definizione.

Inseriamo, per esempio, quanto segue nell'area dei comandi:

            f(x) := {sin(x),(-INF, 1]; 5,(1,5];x+1,(5,50)}

Questa funzione ha come definizione sin(x) nell'intervallo (-INF, 1], poi 5 nell'intervallo (1, 5] e x + 1 nell'intervallo (5, 50). 

Se proviamo a far disegnare il grafico di f, otteniamo la seguente immagine:

Notiamo che, per esempio, nell'intervallo (-INF, 1] abbiamo una sinusoide e un pallino terminale corrispondente all'estremo 1; questo indica che il valore  x = 1è compreso.

Esempio
Nella Scheda Input  inseriamo le seguenti due instruzioni:

hs(x) := x/sin(x);

fcomp(x) := {sin(x),(-INF, 1]; hs(x),(1,5]; hs(x)+1,(5,50)};

e premiamo enter.
In questo modo abbiamo definito due funzioni: hs(x) e fcomp, funzioni che vengono registrate nel  box scelta funzioni; selezionando, da questo, fcomp, possiamo far disegnere il suo grafico premendo il tasto. Ecco il risultato:

  fcomp è un esempio di funzione che richiama un'altra funzione, hs in questo caso.

Prova tu stesso

Valutazione di espressioni

Una volta definita una funzione, per esempio fcomp(x) appena considerata, possiamo far calcolare il suo valore per un particolare valore di x scrivendo

fcomp(10) (enter)

La risposta sarà -17.381639608896656

Possiamo anche far calcolare il valore di fcomp  fornendo come argomento una variabile precedentemente definita. Se, per esempio, definiamo la variabile y come

y := 15

e poi scriviamo:

fcomp(y)

avremo come risultato:

24.06670842311...

Possiamo, infine, iserire come argomento di fcomp il valore di un'altra funzione:

fcomp(sqrt(25))

Naturalmente l'argomento di fcomp deve ricadere in uno degli intervalli in cui la funzione è definita, altrimenti avremo un messaggio di errore. Osserviamo, infine, che l'argomento di fcomp può essere una qualsiasi espressione e contenere funzioni, ma non altre funzioni a tratti.
Possiamo anche far valutare espressioni più complesse, come la seguente:

sqrt(fcomp(15))+sin(fcomp(10))+2/5

ottenendo come risposta 6.3004956...
Esempio
scrivendo:
 pow(2, sin(1))
e premendo enter, avremo come risultato: 1,791876223827922.

Notiamo, infine, che una funzione definita dall'utente rimane in memoria finché il programma è attivo e può essere utilizzata per definire funzioni più complesse, come abbiamo visto e come vedremo in seguito. Infine, possiamo salvare le tabelle, in cui sono registrate le varie funzioni e le variabili, sul disco, come mostrato in Menu File.

Cancellazione di una variabile o di una funzione

Una volta inserita in memoria una variabile, possiamo sempre cancellarla, cioè eliminarla dalla tabella delle variabili. Stessa cosa con le funzioni. Il comando è il seguente:

cancella nomeVariabile
cancella nomeFunzione

Unicità dei nomi
Da notare che un nome utilizzato per una funzione non può essere utilizzato per definire una variabile o un'altra funzione.
Scriviamo, per esempio:

x := sqrt(3^5);
x(x) := x+5

Verrà aperta una finestra con il messaggio di errore:

Nome x(x) già utilizzato

Esempio
Scriviamo, nell'area comandi, una istruzione alla volta, oppure le tre istruzioni insieme, prima di premere enter:

f(x) := x + 5;
x := sqrt(f(3));
x

Otterremo come risposta:

x = 2,8284271247461903

Concludiamo che nella definizione di una variabile possiamo utilizzare una funzione precedentemente definita e conservata in memoria. Da notare che nella prima istruzione x è un parametro formale, un segnaposto, mentre nella seconda x è definita come variabile ed è scollegata da f(x).
Se ora scriviamo:

cancella x

la variabile x verrà cancellata dalla memoria. In modo analogo, possiamo cancellare la funzione f scrivendo:

cancella f

Funzioni predefinite

Il programma contiene alcune funzioni di base, tipo seno, coseno... il cui elenco è riportato nella tabella che segue; inoltre contiene funzioni e sistemi di equazioni parametriche predefinite a scopo dimostrativo. Nel seguito commenteremo alcuni di questi oggetti matematici posti nella finestra 3D (box di scelta 3D) e nella finestra 2D (box scelta 2D).
Ecco l'elenco delle funzioni predefinite di base, dove le funzioni trigonometriche ammettono angoli in radianti.

sin	seno di un angolo
cos	coseno
tan	tangente
asin	arco seno
acos	arco coseno
atan	arco tangente
log	logaritmo naturale o di Nepero
sinh	seno iperbolico
cosh	coseno iperbolico
tanh	tangente iperbolica
exp	funzione esponenziale a base e (numero di Nepero)
log10	logaritmo a base 10
pow(b,x)	potenza a base b di x
sqrt(x)	radice quadrata di x
abs(x)	valore assoluto di x
ceil(x)	parte intera di x
signum(x)	segno di x
cbrt(x)	Radice cubica di x

Sistema di equazioni parametriche

Alcune curve sono definite tramite equazioni con coordinate non cartesiane.

Un sistema di equazioni parametriche che individua una superficie o una curva nella spazio, è individuato racchiudendo tra  parentesi graffe le varie equazioni come in questi esempi:

{linea: x(t) = t+1, y(t) = 3*t+1, [t,-1,2,0.5]}                                                  Equazione parametrica in 2D

{spirale: x(u,v) = ..., y(u,v) =..., z(u,v) = ...,[u,-1,10, 0.5], [v,-10,10, 5]}       Equazione parametrica in 3D.

Si osserva:

1. linea e spirale sono i nomi assegnati, rispettivamente, al primo e al secondo sistema di equazioni parametriche;
2. tra parentesi quadre viene riportata ciascuna variabile, insieme ai valori estremi che può assumere, oltre al passo, cioè di quanto questa si deve incrementare. I valori estremi, il nome della variabile ed il passo sono separati da virgole, come in questo caso: [t,-1, 2, 0.5] dove i valori estremi sono -1 e 2 ed il passo è 0.5 .
   
3. il nome della curva è sempre seguita dal carattere due punti.
   

Esempio . Inseriamo, sempre nell'area comandi:

Qui cerchi è una curva in 2D dove le ascisse e le ordinate sono determinate dai parametri u e v, con u che assume valori che vanno da 1 a 10 e con un incremento di 0.5, mentre v -angolo- assume i valori che vanno da 0 a 2*PI (2*pigreco) ed il cui passo è 0.2. La figura mostra la curva ottenuta

Prova tu stesso
Da notare che possiamo omettere il passo; in questo caso è il programma che lo stabilisce, ma può succedere che sia troppo piccolo e i tempi di elaborazione possono aumentare in modo sognificativo. Quando si definisce un sistema di equazioni parametriche, è indifferente utilizzare l'operatore di assegnazione ":=" o semplicemente il segno "=", come in questo caso.
Esempio
Come sistema di equazioni parametriche predefinito, abbiamo il seguente, già inserito nell'elenco delle funzioni predefinite:

{spiral2D: x(t) :=t^0.5*cos(t), y(t) := t^0.5*sin(t),[t,0,50]}

il cui grafico è:



Esempio
Il sistema parametrico:

{retVert: x(u) = 3, y(u) =3, z(u) = u, [u,-5,5]}

rappresenta un segmento verticale (parallelo all'asse z) che interseca il piano xy nel punto (3, 3) e che viene visualizzato nella finestra 3D.

Esempio
Il seguente sistema di equazioni parametriche rappresenta, in 2D, un segmento

{seg2D: x(u) = 2*u, y(u) = u, [u,-10,10]}

mentre, se aggiungiamo a questo z(u), abbiamo lo stesso  segmento,  nel piano xy, ma rappresentato nella finestra 3D:

{seg3D: x(u) = 2*u, y(u) = u, z(u) = 0,[u,-10,10]}

Esempio

Consideriamo il sistema di equazioni parametriche con due parametri u e v. Avendo esplicitato z in funzione di  v, ci poniamo in 3D; inoltre, avendo due parametri, il programma interpreterà il grafico come una superficie ed utilizzarà i triangoli Mesh.

{alfa: x(u,v) = u, y(u,v) = 3-3/4*u, z(u,v) = v,[u,-5,5], [v,0,5]}

La superficie ottenuta è un piano verticale.

Parametro ausiliario

Se scriviamo
 abbiamo definito una famiglia di funzioni composta da tre funzioni che si distinguono per il diverso valore del parametro ausiliario c. In questa definizione x è la variabile indipendente, mentre c è il parametro ausiliario che può assumere i valori 1, 2 e -6. Facendo visualizzare i grafici di questa famiglia di funzioni, otteniamo tre rette parallele.

Esempio. Scriviamo

g(x) := a*x^2,[a:1/2, 2, 6]

Avremo una famiglia di tre parabole aventi il vertice nell'origine.

Il parametro ausiliario lo troviamo anche nella definizione di un sistema di equazioni parametriche

{circonferenze3D: x(t) = r*cos(t),y(t) = r*sin(t), z(t) = 10/r,[r:-10,-5,-2, 2,5,10],[t,0,2*PI, 0.2]}

Questo sistema rappresenta una famiglia di circonferenze nella spazio ed il loro numero è uguale al numero di valori del parametro r, cioè sei.

Vediamo come far visualizzare questa famiglia di circonferenze.

1. Inseriamo nell'area comandi il sistema, come riportato sopra;
2. Se non attivata, attiviamo la finestra dei grafici 3D ();
3. Scegliamo dall'elenco dei grafici 3D la parola circonferenze3D
4. Clicchiamo sull'icona plot 3D ()

La figura seguente mostra il risultato.

Trascinando opportunamente il mouse, tenendo premuto il suo tasto sinistro, possiamo far ruotare l'immagine in tutte le direzioni. Con la rotella del mouse, infine, possiamo far rimpicciolire o ingrandire l'immagine. Normalmente l'immagine viene visualizzata insieme ai tre assi cartesiani, ma premendo sul tasto "a" si possono disattivare o attivare. E' possibile pure visualizzare o meno il piano xy premendo il tasto "y", quando la finestra 3D è attiva.

Nota. E' importante scrivere in modo corretto un sistema. Tra le altre cose, bisogna tener presente che:

1. Un parametro ausiliario non deve apparire come parametro nella definizione di una funzione. Nell'esempio precedente, non è corretto scrivere, per esempio, x(t, r) := r*cos(t) se r è considerato un parameto ausliario ed x è una funzione in una sola variabile.
2. Nell'elenco dei valori del parametro ausiliario, dopo il nome del parameto bisogna porre i due punti, prima dell'elenco dei suoi valori: [r:-100,-50,-20, 20,50,100].

Esempio
Scriviamo il sistema con parametro ausiliario R:

{CucituraPalla: x(t) = R *cos(t)+15*cos(3*t),y(t) = R*sin(t)-15*sin(3*t),z(t) = R*sin(2*t), [t,0, 4*PI], [R:15, 25,35]}

dove R assume i valori 15, 25 e 35. In questo modo abbiamo definito un insieme di tre curve nello spazio, ottenendo uno spettacolare intreccio di curve.

Prova tu stesso Esempio
Il seguente sistema parametrico, con parametro ausiliario, fornisce un insieme di sei segmenti paralleli e complanari:

{segmPar: x(u) = u, y(u) = 3-3/4*u, z(u) = v,[u,-5,5],[v:0,1,2,3,4,5]}

Siamo in 3D perché anche z è definita, ma abbiamo sei curve  in quanto il parametro v assume sei valori.

Nota. nel caso di una curva in 2D, possiamo definire un solo valore per il parametro ausiliario, come in questo esempio:

{circles : x(v) := u*cos(v), y(v) = u*sin(v),[u:5],[v,0,2*PI, 0.2]}

Funzioni di funzioni

E' possibile definire delle funzioni utilizzando le funzioni presenti in memoria, anche quelle predefinite. Possiamo, per esempio, definire la funzione:
f(x,y) := S4(x,y)^5
dove S4 è una funzione predefinita e presente nelle tabelle. Una volta inserita questa equazione nell'area comandi, possiamo decidere di far disegnare il suo grafico 3D:

• cerchiamo f nel box 3D di scelta;
• premiamo il tasto 

Otterremo la seguente immagine, con scala z ridotta:

Prova tu stesso

Grafici di funzioni in 2D

Incominciamo inserendo, sempre nell'area dei comandi, la seguente definizione di funzione:

r(t) := sin(t)+(sin(5/2*t))^3

Questa verrà automaticamente memorizzata nella tabella delle funzioni 2D e volendo possiamo far visualizzare il suo grafico, ma non è quello che ci interessa; utilizzeremo r(t) per definire un sistema di equazioni parametriche che utilizza questa come funzione componente:

{farfalla: x(t) = r(t)*cos(t), y(t) = r(t)*sin(t), [t,0,2*PI]}

Poiché x e y sono in funzione di t, il programma darà una rappresentazione della curva nel piano xy; la figura seguente mostra cosa si è ottenuto.

Notiamo, infine, che la stessa curva possiamo farla visualizzare in 3D, ma sempre nel piano xy di questo, aggiungendo z(t) = 0:

r(t) := sin(t)+(sin(5/2*t))^3;

{farfalla3D: x(t) = r(t)*cos(t), y(t) = r(t)*sin(t), z(t) = 0, [t,0, 2*PI]}

ottenendo:

Esempio . Consideriamo l'equazione di una curva in un sistema di coordinate polari (r, t) dove r := t^2  e t rappresenta un angolo. Poiché abbiamo

x := r cos(t)

y := r sin(t)

possiamo scrivere l'equazione della curva come un sistema parametrico:

x := t^2*cos(t)

y := t^2*sin(t)

e quindi porre, nell'area comandi:

{curva:x(t) = t^2*cos(t), y(t) = t^2*sin(t) , [t,-10,10]}

Ecco il risultato, dopo aver operato con la rotella del mouse per rimpicciolire o ingrandire l'immagine.

Esempio

Curva Nefroide:

{Nephroid: x(t) = 5*(3*cos(t)-cos(3*t)), y(t) = 5*(3*sin(t)-sin(3*t)), [t,0,2*PI]}

In questo caso potrebbe essere necessario rimpicciolire l'immagine altrimenti potrebbe non essere visibile.

Grafici in 3D

Come mostra la figura della finestra 3D, in questa possiamo visualizzare un sistema di tre assi x, y e z, dove l'asse x è visualizzato in rosso, l'asse y in verde e l'asse z in azzurro. Opzionalmente, possiamo anche far visualizzare un piano xy premendo il tasto "y". Come già accennato e come vedremo in seguito, possiamo visualizzare o meno gli assi premendo il tasto "a".

Normalmente l'origine delle coordinate 3D è posto al centro della finestra, ma possiamo traslare gli assi, insieme alle eventuali superfici visualizzate, premendo il tasto destro del mouse e trascinando questo.

Punti luce

In una scena tridimensionale sono presenti tre punti luce in modo da illuminare quanto rappresentato con luci colorate. Quando si rappresenta una superficie, o una curva, in forma tridimensionale, i punti luce, come mostra la figura seguente, vengono posti in tre punti predefiniti dello spazio, ma è possibile cambiare questi parametri tramite l'area di comando oppure, in un modo più comodo, tramite la scheda impostazioni.
Inoltre, in qualsiasi momento possiamo far visualizzare le informazioni relative alle luci nella stessa scheda.


Visualizzare le luci
Possiamo esplicitare le posizioni delle tre luci rappresentandole come delle sfere colorate. Vediamo come.

Cliccando l'icona , vengono rappresentate, nella finestra 3D, delle sfere che rappresentano le tre luci della scena, come mostrato nella figura seguente  dove è visualizzata anche  la superficie generata dal sistema di equazioni parametriche di nome S1, selezionabile dal box funzioni 3D.



Per nascondere le tre sfere-luci, basterà premere ancora una volta l'icona.

Input da tastiera

Una volta visualizzata una immagine tridimensionale, è possibile intervenire da tastiera per modificare alcuni parametri e per eliminare gli assi:

• Tasto "a": visualizza o nasconde gli assi cartesiani 3D, se la finestra 3D è attiva.
• Tasto "y": visualizza o nasconde il piano xy
• Tasti "+" e "-". Premendo uno di questi, si provoca una variazione dei valori dei parametri che individuano il campo di variabilità della funzione in 3D, come visto in precedenza. L'immagine seguente mostra la superficie ottenuta con i valori estremi di default, valori visualizzabili nella scheda Impostazioni
  

Premendo più volte il taso "+" (con la finestra 3D attiva), provochiamo un ampliamento del campo di variabilità delle escisse e delle ordinate e l'effetto può essere il seguente, dove la superficie è piena:


Oppure il seguente, se premiamo più volte il tasto '-' e con l'opzione della visualizzazione dei soli contorni:



Quello che succede è che i parametri indicanti i valori estremi di variabilità degli assi x e y di opzione vengono modificati con la conseguenza che verrà visualizzata una parte maggiore o minore del grafico. Da osservare che possiamo ottenere gli stessi effetti modificando direttamente i valori estremi degli assi x, y e z tramite la scheda Impostazioni.
Un altro parametro importante, come già detto, è il numero di divisioni della superficie in triangolini nDivMesh: con nDivMesh :=  50, si ha una superficie meno dettagliata, ma con un tempo di elaborazione inferiore. Ponendo questo parametro uguale a 200, tramite la scheda impostazioni, il tempo di elaborazione aumenta leggermente, ma abbiamo una superficie più precisa, come mostra la figura che segue (con superficie piena) che si riferisce alla stessa funzione predefinita, detta wave e registrata nel programma.

Cambiare lo sfondo di una immagine 3D

Si noterà che è cambiato il colore dello sfondo della immagine precedente. Per farlo, bisogna selezionare un colore e poi  utilizzare il tasto Colore sfondo 3D .

Un esempio di sistema di equazioni in 3D

Consideriamo la superficie di Kuen (http://virtualmathmuseum.org/Surface/kuen/kuen.html) definita come un sistema di equazioni parametriche:

{kuen: x(u,v) = 2 * cosh(v) * (cos(u) + u * sin(u)) / (cosh(v) * cosh(v) + u * u),
  y(u,v) = 2 * cosh(v) * (-u * cos(u) + sin(u)) / (cosh(v) * cosh(v) + u * u),
  z(u,v) = v - (2 * sinh(v) * cosh(v)) / (cosh(v) * cosh(v) + u * u),[v,0,2*PI],[u,0,2*PI]}

Inseriamo questo sistema (si può fare taglia e incolla su quanto scritto sopra, oppure, più semplicemente, cliccare il bottone inserito sotto)  nella scheda Input; selezioniamo poi la voce kuen nel Box scelta 3D e premiamo il tasto disegno 3D. La figura seguente mostra la superficie ottenuta:


Prova tu stesso

Equazioni

Utilizzando una funzione precedentemente definita in due variabili, è possibile definire una equazione del tipo f(x,y) = 0, con f(x,y) già definita.
Consideriamo il seguente esempio. Scriviamo:

f(x,y) := 4*x^3+9*x*y^2-9*y^3-36*x+36*y ;
equazione eq1: f= 0, [x,y]

Da notare che, nella definizione di equazione, abbiamo esplicitato le incognite della stessa ponendole tra parentesi: [x,y]. Nell'area input verrà visualizza l'equazione
  4*x³+9*x*y²-9*y³-36*x+36*y = 0 e per visiualizzare le soluzioni di questa nel piano xy e nella finestra 3D, dobbiamo scegliere eq1 dal box di scelta 3D e poi far disegnare il grafico.



Verrà visualizzato un insieme di punti, tutti nel piano xy, che appartengono alla curva delle soluzioni dell'equazione. A conferma di questo possiamo far disegnare il grafico di f(x,y) per constatare che le soluzioni dell'equazione eq1 ottenute sono i punti di intersezione tra la superficie generata dalla funzione f e il piano xy, come mostra la figura seguente.

Nell'esempio precedente abbiamo visto un caso particolare in cui il primo membro dell'equazione è dato dal nome di una funzione, ma in generale possiamo definire una equazione come

eq nomeEq: espressione1 = espressione2,[par1,par2]
o
eq nomeEq: f(x,y) = g(x,y),[x,y]

dove [x,y] serve per esplicitare le incognite dell'equazione. Questo è necessario  in quanto si può verificare una situazione del genere dove nell'equazione possiamo avere una costante precedentemente definita:

z := 6;
eq eq4: x^2+z = z^2+y,[x,y]

Esempio

 eq eqaz: -5*x^4+9*x*y^2-9*y^3-36*x+36*y*x+5*x*y^2 = x^2+y -sin(y),[x,y]

In questo caso verranno visualizzati, nel piano xy, alcuni punti P(x,y) che sono un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni dell'equazione:

-5*x^4+9*x*y^2-9*y^3-36*x+36*y*x+5*x*y^2 -(x^2+y -sin(y)) = 0

Nota: la densità dei punti visualizzati dipende dal parametro nDivMesh.Possiamo avere risultati non corretti per funzioni non definitte in qualche punto interno all'insieme di variabilità di x e y.

Cancellazione di un oggetto grafico visualizzato nella finestra 3D

Abbiamo visto che l'icona serve per cancellare la visualizzazione di un oggetto. Può succedere che nella finestra 3D siano visualizzati più grafici ed in questo caso si pone il problema di selezionare l'oggetto da cancellare: basta selezionare questo tramite il box di scelta oggetti 3D e poi premere . Nel caso in cui nessun oggetto è stato selezionato o quello selezionato non corrisponde ad alcuno degli oggetti grafici visualizzati, viene cancellato uno qualsiasi di quelli visualizzati.

Alcuni oggetti grafici particolari

E' possibile definire alcuni oggetti grafici che ci permettono di costruire figure tridimensionali di una certa complessità. Incominciamo da quelli più semplici.

Punto

Se scriviamo, sempre nell'area comandi, quanto segue

punto A: 5,7,10

abbiamo definito un punto nello spazio 3D avente per coordinate x = 5, y = 7 e z = 10.
Per visualizzare questo punto, dobbiamo prima selezionarlo nel box elenco funzioni 3D e poi cliccare l'icona : verrà visualizzata una piccola sfera e a fianco la lettera A.
In generale, possiamo generare un punto scrivendo

punto nomePunto: x, y, z

Segmento

Scriviamo ancora

punto B: -5,-6,-10

e poi:

segmento AB:A, B

Verrà creato un segmento, di nome AB e rintracciabile nel box funzioni3D.
Per visualizzare questo segmento, bisognerà selezionare AB dal box funzioni 3D e cliccare .

In generale, un segmento viene creato inserendo nel box comandi una istruzione tipo:

 

segmento S: P1, P2

 

dove S è il nome dato al segmento e P1 e P2 i nomi dei due punti estremi, già definiti e presenti in memoria.

Spezzata

Con un insieme di segmenti possiamo creare una spezzata, aperta o chiusa, nello spazio.
Per fare questo sono necessarie più istruzioni da fornire al programma ed è necessario utilizzare la scheda .

In questa scheda inseriamo le istruzioni che seguono:

  //piramide

punto P1: 5,0,0;

punto P2: 0,5,0;

punto P4: 0,-5, 0;

punto V: 0,0,5;

seg P1P2: P1, P2;

seg P2P3: P2, P3;

seg P3P4: P3, P4;

seg P1P4: P1, P4;

seg VP1: V, P1;

seg VP2: V, P2;

seg VP3: V, P3;

seg VP4: V, P4;

spezzata3D piramide: P1P2, P2P3,P3P4, P1P4, VP1, VP2, VP3, VP4

 
Qui abbiamo definito i punti P1, P2, P3 e P4, nel piano xy, e il vertice V della piramide. Da notare che ogni istruzione termina con il carattere ';', tranne l'ultima dove questo non è necessario. Possiamo anche inserire un commento che non avrà alcun effetto sull'esecuzione delle istruzioni, ma serve per chiarire a chi legge il significato delle istruzioni. Ogni commento è proceduto dalle doppie barre '//' e tutto quello che segue viene ignorato, fino alla fine della riga.
Oltre ai punti, vengono definiti i lati come segmenti aventi per estremi due dei punti precedentemente definiti (qui seg è equivalente al comando segmento).
Infine, tramite il comando spezzata3D, viene definita una spezzata di nome piramide e avente per lati i segmenti precedentemente definiti. Il suo grafico è:

Vettore

E' possibile definire anche un vettore tramite il comando vettore:

vettore nome: puntoA, puntoB

dove puntoA e puntoB sono due oggetti punto, come abbiamo visto sopra. Il verso del vettore è dal primo punto al secondo, quindi da puntoA a puntoB.

Esempio
Nella finestra dei comandi scriviamo

punto C:0,0,0;
punto D: 5,5,5;
vettore CD: C, D

Nel box funzioni 3D selezioniamo l'oggetto CB e poi premiamo il tasto :

Colore di un solido

Abbiamo già visto come modificare il colore di un oggetto in 3D. Nel seguito vedremo vari esempi in cui ad un solido viene assegnato un certo colore e una certa trasparenza. In assenza di un colore esplicito, verrà usato quello di opzione.

Poligono

     Con un insieme di punti (almeno tre) possiamo anche definire un poligono in 3D.

Proviamo, per esempio, ad inserire il seguente insieme di istruzioni:

//triangolo
punto A: -5,5,0;
punto B:5,7,13;
punto C:3,-2,10;
poligono f: A,B,C

Queste definiscono tre punti ed un  in 3D cioè una superficie piana triangolare i cui vertici sono i punti A, B e C.
Il comando faccia ha lo stesso effetto, dati un insieme di punti.
 Nel caso in cui i punti sono più di tre e non sono complanari, avremo una superficie composta da tanti triangoli non tutti complanari.
Consideriamo le seguenti istruzioni:

//superficie
punto A:5,0,0;
punto B: 0,5,0;
punto C: 0,0,5;
punto D: 5,5,5;
punto E: 7,7,3;
faccia ABCDE: A, B, C,D, E

Se facciamo eseguire queste istruzioni, avremo:

Il programma ha creato tanti triangoli aventi come vertice comune il primo della lista, cioè A, e collegato questo con i vertici restanti.

Esempio
punto A1:3,0,0;
punto A2: 0,3,0;
punto B1:3,0,5;
punto B2: 0,3,5;
faccia A1A2B1B2: A1, A2, B1, B2;

Facendo visualizzare la faccia otteniamo la seguente immagine:



 e si nota che non abbiamo ottenuto un quadrato come ci si sarebbe potuto aspettare e questo dipende dal fatto, come detto sopra, che la superficie si ottiene unendo due triangoli, A1A2B1 e A1B1B2.
Per ottenere un quadrato dobbiamo fornire i vertici come se ruotasimo intorno al puntoo A1: A1, A2, B2, B1.

Solidi

Tramite il comando faccia è possibile costruire solidi ed in particolare quelli regolari tramite il comando solido.
Incominciamo con un solido semplice, la piramide vista in precedenza. Nella scheda Inserimento inseriamo le seguenti istruzioni (si può fare il copia e incolla di quanto segue):

//Esempio costruzione di un solido

punto P1: 5,0,0;
punto P2: 0,5,0;
punto P3: -5,0,0;
punto P4: 0,-5, 0;
punto V: 0,0,5;
//definizione delle facce
faccia VP1P2: V, P1, P2;
faccia VP2P3: V, P2, P3;
faccia VP3P4: V, P3,P4;
faccia  VP1P4: V, P1,P4;
//faccia di base
faccia base: P1, P2, P3, P4;
//definizione del solido di nome piramide
solido piramide1: VP1P2, VP2P3, VP3P4, VP1P4, base

La rappresentazione del solido piramide è la seguente:



Nota. Volendo assegnare al solido un diverso colore e una certa trasparenza, possiamo operare con la scheda Impostazioni.


Cubo
Come esempio di costruzione di un solido, consideriamo il caso di un cubo di cui conosciamo le posizioni dei suoi vertici  e precisamente il caso in cui i vertici di una base si trovano sugli assi coordinati:

//Cubo
lato := 3*sqrt(2);
//punti base inferiore
punto A1:3,0,0;
punto A2: 0,3,0;
punto A3: -3,0,0;
punto A4: 0,-3,0;
//punto base superiore
punto B1:3,0,lato;
punto B2: 0,3,lato;
punto B3: -3,0,lato;
punto B4: 0,-3,lato;
//facce
faccia A1A2A3A4: A1, A2, A3, A4;//base inferiore
faccia A1A2B2B1: A1, A2, B2, B1;
faccia A2A3B2B3: A2,A3,B3,B2;
faccia A3A4B3B4: A3, A4, B4, B3;
faccia A4A1B4B1: A4, A1, B1, B4;
faccia B1B2B3B4: B1, B2, B3, B4;//base superiore
solido cubo:A1A2A3A4, A1A2B2B1, A2A3B2B3, A3A4B3B4, A4A1B4B1, B1B2B3B4;
colore cubo: 0, 50, 250, 0.9
 






Consideriamo ora un caso più complesso e proviamo a disegnare un icosaedro, cioè un solido regolare di 20 facce che sono triangoli equilateri.
Rinviamo al seguente indirizzo:

https://aliveuniverse.today/rubriche/ricreazioni-matematiche/2864-dadi-e-solidi-platonici-ultima-parte-icosaedri

per una trattazione teorica su questo solido e su come ricavare i suoi vertici.
Per ottenere il solido inseriamo, nella scheda AreaComandi le seguenti istruzioni:

r := 5;//raggio sfera circoscritta all'icosaedro
a := r*sqrt(5)/5;//ordinata cerchio superiore
R := sqrt(r^2-a^2);//raggio di ciascuna circonferenza
//conversione da gradi a radianti
Rad(a) := PI*a/180;//definisce la funzione Rad
//definizione dei 12 punti
punto A:0,0,r;
punto B:0,0,-r;
punto C0:0,R, a;
punto C1:R*sin(Rad(72)),R*cos(Rad(72)),a;
punto C2:R*sin(Rad(144)),R*cos(Rad(144)),a;
punto C3:R*sin(Rad(216)),R*cos(Rad(216)),a;
punto C4:R*sin(Rad(288)),R*cos(Rad(288)),a;
//punti seconda circonferenza, con z = -a
punto C5: R*sin(Rad(36)), R*cos(Rad(36)), -a;
punto C6:R*sin(Rad(108)), R*cos(Rad(108)), -a;
punto C7: 0,-R,-a;
punto C8:R*sin(Rad(252)), R*cos(Rad(252)), -a;
punto C9: R*sin(Rad(324)), R*cos(Rad(324)), -a;
//5 facce con vertice superiore A
faccia AC0C1: A, C0, C1;
faccia AC1C2: A,C1,C2;
faccia AC2C3: A, C3,C2;
faccia AC3C4: A, C4, C3;
faccia AC0C4: A, C0, C4;
//5 facce con vertice inferiore B
faccia BC5C6: B, C5, C6;
faccia BC6C7: B, C6, C7;
faccia BC7C8: B, C7,C8;
faccia BC8C9: B, C8, C9;
faccia BC9C5: B, C9, C5;
//10 facce tra i due cerchi
faccia C1C5C6: C1, C6,C5;
faccia C1C0C5: C1,C5,C0;
faccia C0C5C9: C0,C5,C9;
faccia C0C4C9: C0,C9,C4;
faccia C8C4C9:C8,C4,C9;
faccia C3C8C4:C3,C4,C8;
faccia C7C3C8:C7,C3,C8;
faccia C2C7C3: C2,C3,C7;
faccia C2C7C6:C2,C7,C6;
faccia C6C2C1: C6,C1,C2;
//definizione del solido di nome icosaedro tramite l'elenco delle sue 20 facce
solido icosaedro: AC0C1, AC1C2,AC2C3, AC3C4, AC0C4, BC5C6, BC6C7,BC7C8,BC8C9,BC9C5, C1C5C6,C1C0C5, C0C5C9,C0C4C9,C8C4C9, C3C8C4,C7C3C8,C2C7C3, C2C7C6,C6C2C1, (255, 0, 0, 1.0);//Colore rosso senza trasparenza
visSolido icosaedro;//comando per visualizzare il solido

La figura mostra l'immagine ottenuta.

Cono-piramide

E' possibile rappresentare un cono tramite il comando:

cono nomecono: raggio, altezza, nDiv

Il cono viene realizzato dividendo la circonferenza di base in nDiv archi (e altrettante corde) e creando nDiv triangoli isosceli aventi tutti un vertice coincidente con la punta del cono e per base ciascuna delle nDiv corde della circonferenza di base. Naturalmente, quello che otteniamo è una piramide con nDiv lati che approssima il cono.

Esempio
cono cono1: 5, 10, 5

Crea un cono-piramide di raggio 5, altezza 10 e con 5 divisioni della circonferenza di base, cioè con 5 lati della piramite.
La figura seguente mostra quanto ottenuto:



Prova tu stesso
Aumentando nDiv, cioè il numero dei lati, abbiamo una maggiore approssimazione del cono:

cono cono2: 5, 10, 500

In questo caso è nDiv = 500. Ecco il risultato:

Multi Sistemi di equazioni parametriche

E' possibile considerare come un'unico oggetto un elenco di sistemi di equazioni parametriche. Lo scopo è quello di utilizzare più sistemi parametrici per rappresentare figure complesse nel piano e nello spazio. Consideriamo il seguente esempio:

{triangolo: x(t) = -5+15*t, y(t) = 20+20*t,[t, 0,1];

x(t) = -5+20*t, y(t) = 20-30*t,[t, 0,1];

x(t) = 15-5*t, y(t) = -10+50*t,[t, 0,1]}

Si osserva che le variabili x e y sono definite più volte e queste definizioni sono separate dal punto e virgola, ottenendo un insieme di tre sistemi parametrici. Questo multi sistema prende il nome di triangolo e fornirà una figura 2D nel piano xy, cioè un triangolo.

Esempio
Tra i sistemi predefiniti abbiamo la sphere e il torus: possiamo allora definire un multi sistema combinando questi due sistemi. Scriviamo:

{sferaToro: sphere; torus};


Ed ecco il risultato, dopo aver ridotto la scala lungo l'asse z:

Da notare che possiamo cambiare il colore a ciscuna delle due superfici selezionando torus o sphere dal box scelta 3D e poi utilizzare la scheda impostazioni. Da notare che possiamo cancellare uno dei due oggetti selezionandolo dal comboBox 3D e poi cliccare sull'icona cancella.

Un altro multi sistema di equazioni parametriche è il seguente (dove sphere e spiral3D sono sistemi parametrici a corredo del programma):

{solidoCom: sphere; spiral3D};

mentre il seguente non è ammesso in quanto wave non è un sistema di equazioni parametriche:

{solidoCom: sphere; wave};

Esempio

Vediamo come visualizzare un iperboloide iperbolico di rotazione. Definiamo un multi sistema parametrico contenente due sistemi  parametrici in modo da tener conto dei due segni di z.

a := 3;

{iperboloideIperbolico: x(u,t) = u*sin(t), y(u,t) = u*cos(t),z(u,t) = a*sqrt(u^2/a^2-1), [u,-5,5],[t,0,PI]; x(u,t) = u*sin(t), y(u,t) = u*cos(t) , z(u,t) = -a*sqrt(u^2/a^2-1), [u,-5,5],[t,0,PI]}

Ed ecco l'immagine:

Prova tu stesso

Qualche esempio

Di seguito si riportano elcuni esempi di programmi per costruire figure particolari in 3D.

Cilindro

Come esempio di uso dei sistemi di equazioni parametriche vediamo come si può costruire un cilindro di dato raggio e data altezza e avente come asse z.

Il seguente programma serve allo scopo:

r := 5; //raggio cilindro

h := 10;//altezza cilindro

t1 := atan(h/r);//angolo massimo

{cilindro: x(u,t) = r*sin(u), y(u,t) = r*cos(u), z (u,t) = r*tan(t),[t, -t1,t1], [u,0,2*PI]};

Questo programma costruisce un cilindro di raggio 5 e altezza 20 e avente l'asse coincidente con l'asse z. Possiamo poi stabilire un colore a piacere.

Prova tu stesso

Ellissoide

Le equazioni parametriche dell'ellissoide sono
x = a cos(t) sin(p)
y = b sin(t)sin(p)
z = c cos(p)
 con t ∈[0,2PI] e p ∈ [0, PI]
ed ecco il relativo programma:

a := 5;
b := 7;
c := 2;
{ellissoide: x(t,p)= a*cos(t)*sin(p),
y(t,p) = b*sin(t)*sin(p), z(t,p) = c*cos(p),
[t, 0, 2*PI],[p,0,PI]};


ed ecco il risultato:


Prova tu stesso

Ellissoidi e parametro ausiliario

Nell'esempio precedente possiamo considerare a come un parametro ausiliario in modo da generare più ellissoidi, uno dentro l'altro. Per poter visualizzarli tutti, limitiamo l'intervallo di variabilità del parametro p da 0 a PI/2. Ecco il programma:

b := 7;
c := 10;
{ellissoide3: x(t,p)= a*cos(t)*sin(p), y(t,p) = b*sin(t)*sin(p), z(t,p) = c*cos(p), [t, 0, 2*PI],[p,0,PI/2], [a:5,10, 20]}

Naturalmente disegnare più ellissoidi richiede più tempo di elaborazione. Ed ecco il risultato:

Matrici

Nel seguito useremo la scheda InputOutput (scheda IO) per inserire o visualizzare le matrici. Una matrice può essere definita esplicitamente nel seguente modo:

A := [1 2; sin(PI/2) 5]

dove A è il nome assegnato alla matrice di due righe e di due colonne. Premdo enter, nella scheda IO avremo:

>A =
        1.0000      2.0000
        1.0000      5.0000

Da notare che gli elementi di una matrice sono racchiusi tra le parentesi [ e ] e sono separati da spazi, mentre un elemento può essere un numero reale, una espressione o il valore di una qualsiasi funzione precedentemente definita. Un'altra cosa da notare è che il simbolo ";" indica l'inizio di una nuova riga.
Esempio

>B := [wave(2,3) (3+4/5)^2 -1; -1 2 3]

MathPlace risponde visualizzando B:

>B =
        0.4202     14.4400     -1.0000
       -1.0000      2.0000      3.0000

Da notare che due lementi di una matrice devono essere separati da almeno uno spazio. Nel caso in cui un elemento di una matrioce è dato da una espressione, conviene racchiudere questa tra parentesi per evitare che qualche spazio dell'espressione porti ad alterare la successione degli elementi della matrice.

Esempio
[1 (1    +5) 6]

viene interpretato come:

>[1 (1    +5) 6]=
        1.0000      6.0000      6.0000
mentre, senza le parentesi, abbiamo:

>[1 1    +5 6]=
        1.0000      1.0000      5.0000      6.0000

Una volta definita una matrice, questa viene memorizzata in memoria e può essere utilizzata per definire altre matrici o per calcolare espressioni tra matrici.
Possiamo per esempio definire una terza matrice utilizzando la matrice A:

>C:= [A A]
>C =
        1.0000      2.0000      1.0000      2.0000
        1.0000      5.0000      1.0000      5.0000

oppure scrivere

[A;A]

ed ottenere la matrice composta da due matrici A sovrapposte:

>      1.0000      2.0000
        1.0000      5.0000
        1.0000      2.0000
        1.0000      5.0000

Matrice che non verrà conservata perché non abbiamo fornito per essa un nome.Notare che le prime due righe sono le righe di A, come pure le ultime due.

Matrice trasposta

Per ottenere la matrice trasposta di una matrice data, basta porre l'apostrofo dopo il simbolo di matrice. Utilizzando la matrice C di prima, possiamo avere la sua trasposta nel seguente modo

>C'

>C' =
        1.0000      1.0000
        2.0000      5.0000
        1.0000      1.0000
        2.0000      5.0000

Oserviamo che in questo caso la matrice C' è stata visualizzata ma non registrata in memoria in quanto non abbiamo fornito un nome.

Definiamo ora un'altra matrice con lo stesso numero di colonne di A, dove A è stata definita sopra:

>A1:= [-1 -0.8;-9 3; 3 -5]

>A1 =
       -1.0000     -0.8000
       -9.0000      3.0000
        3.0000     -5.0000

 e definiamo la matrice E come segue:
 
>E:= [A;A1]

la risposta sarà:

>E =
        1.0000      2.0000
        1.0000      5.0000
       -1.0000     -0.8000
       -9.0000      3.0000
        3.0000     -5.0000

Esempio. Inseriamo le seguenti istruzioni:

A:= [1 2 3;   4 5 6; 7 8 9];
r:= [10 11 12];
[A;r]

 La risposta sarà una nuova matrice: dove, come ultima riga, è stata aggiunto il vettore r:

>      1.0000      2.0000      3.0000
        4.0000      5.0000      6.0000
        7.0000      8.0000      9.0000
       10.0000     11.0000     12.0000

Esempio
Scriviamo :
[-1 -0.8;-9 3; 3 -5]'

 Avremo, come risposta:

>     -1.0000     -9.0000      3.0000
       -0.8000      3.0000     -5.0000

Esempio

>[1 2; 3 4]''
>[1 2; 3 4]''=
        1.0000      2.0000
        3.0000      4.0000

Esempio
>[1 2; 3 4]'''
>[1 2; 3 4]'''=
        1.0000      3.0000
        2.0000      4.0000

Funzioni aventi per argomento una matrice

random(m,n)	Genera e ritorna una matrice di m righe e n colonne
inverse(A)	ritorna la matrice inversa della matrice A
identity(m,n)	ritorna la matrice identità di m righe ed n colonne
det(A)	ritorna il determinante della matrice quadrata A
rank(A)	ritorna il rango della matrice A
trace(A)	ritorna la somma degli elementi della diagonale di A
inv(A), inverse(A)	ritorna la matrice inversa della matrice quadrata A
zero(m,n)	ritorna una matrice di m righe e n colonne di elementi  zero

Esempi

>identity(4,4)
>      1.0000      0.0000      0.0000      0.0000
        0.0000      1.0000      0.0000      0.0000
        0.0000      0.0000      1.0000      0.0000
        0.0000      0.0000      0.0000      1.0000>

Ancora: 
>trace(identity(4,4))
>4.0


>random(3,4)

>      0.0203      0.2146      0.6378      0.7325
        0.4994      0.3482      0.6890      0.0720
        0.3852      0.5505      0.1296      0.2205

>B:= random(3,3)
>inverse(B)

>     -1.4111     -2.2224      4.5168
        2.6972      2.2152     -4.5564
       -0.6389      2.3576     -1.4189

Verifica:

>B*inverse(B)
>      1.0000      0.0000      0.0000
        0.0000      1.0000      0.0000
        0.0000      0.0000      1.0000

Possiamo anche calcolare il determinante di B:

>det(B)
>-0.39501530286204967

o la soma degli elementi della diagonale:
>trace(B)
>1.933067950239772

Operazioni tra matrici

Gli operatori matriciali sono:*, +, -, ^

Ponendo A:= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
abbiamo:
>A =
        1.0000      2.0000      3.0000
        4.0000      5.0000      6.0000
        7.0000      8.0000      9.0000

>A+3*A
>        4.0000      8.0000     12.0000
       16.0000     20.0000     24.0000
       28.0000     32.0000     36.0000

Esempio

>A:= [1 2; 3 4];
B:= -A

otteniamo:
B =
       -1.0000     -2.0000
       -3.0000     -4.0000

>[(A-B)]'
>       2.0000      6.0000
        4.0000      8.0000

Prodotto tra matrici

Considerando le matrici A e B:= -A visti prima, abbiamo:

>A*B
>       -7.0000    -10.0000
      -15.0000    -22.0000

Possiamo anche moltiplicare due matrici esplicite, con una che è  trasposta:

[1 2; 3 4]*[5 6; 7 sin(PI)]'
>       17.0000      7.0000
       39.0000     21.0000

Esempi

>[ 2 3    4]*[1;-1;2]
>7

Posto
A =
        1.0000      2.0000
        3.0000      4.0000
B =
       -1.0000     -2.0000
       -3.0000     -4.0000
e
>C =
       -1.0000      0.0000
       -3.0000      4.0000
abbiamo:

A*(B+C) =
      -14.0000     -2.0000
      -30.0000     -6.0000
>A*B+A*C =
      -14.0000     -2.0000
      -30.0000     -6.0000

Esempi con matrici esplicite:

>[1 2 -1 0;4 0 2 1; 2 -5 1 2]+[3 -4 1 2;1 5 0 3;2 -2 3 -1]
>      4.0000     -2.0000      0.0000      2.0000
        5.0000      5.0000      2.0000      4.0000
        4.0000     -7.0000      4.0000      1.0000

Esempio
>[2 3 4;1 5 6]*[1;2;3]
>      20.0000
       29.0000

Esempio
>[1 1 0 0 0 0;2 1 0 0 0  0;0 0 3 1 2 0;0 0 1 2 1 0;0 0 0 1 1 0;0 0 0 0 0 1]*[1 2 3 4 5 6;2 3 4 5 6 7;3 4 5 6 7 8;4 5  6 7 8 9;9 8 7 6 5 4;8 7 6 5 4 1 ]
>             3.0000      5.0000      7.0000      9.0000     11.0000     13.0000
        4.0000      7.0000     10.0000     13.0000     16.0000     19.0000
       31.0000     33.0000     35.0000     37.0000     39.0000     41.0000
       20.0000     22.0000     24.0000     26.0000     28.0000     30.0000
       13.0000     13.0000     13.0000     13.0000     13.0000     13.0000
        8.0000      7.0000      6.0000      5.0000      4.0000      1.0000

Prodotto di uno scalare per una somma:

>A:= [1 2 -3;5 0 2;1 -1 1];
B := [3 -1 2;4 2 5;2 0 3];
3*(A+B)

>      12.0000      3.0000     -3.0000
       27.0000      6.0000     21.0000
        9.0000     -3.0000     12.0000

>(A+B)*3
>(A+B)*3=
              12.0000      3.0000     -3.0000
       27.0000      6.0000     21.0000
        9.0000     -3.0000     12.0000

Potenza di una matrice

Una scrittura del tipo: A^2 indica il prodotto A*A, dove A è una matrice. Analogamente, A^-1 indica la matrice inversa di A, mentre A^-2 indica il prodotto tra due inverse da A.
Esempi

A := [1 2; 3 4]

>A^2
>A^2=
        7.0000     10.0000
       15.0000     22.0000

>A^-1
>A^-1=
       -2.0000      1.0000
        1.5000     -0.5000

 Verifica:

>A*A^-1=
        1.0000      0.0000
        0.0000      1.0000
   

>A^1=
        1.0000      2.0000
        3.0000      4.0000

>A^0=
        1.0000      0.0000
        0.0000      1.0000

A:= [2 -1 1;0 1 2;1 0 1];
>A^2=
        5.0000     -3.0000      1.0000
        2.0000      1.0000      4.0000
        3.0000     -1.0000      2.0000

Equazioni matriciali

Date due matrici A e B, possiamo trovare, se le dimensioni di A e B sono coerenti, una terza matrice, o vettore, in modo che sia soluzione di una delle seguenti equazioni matriciali:

X*A = B
A*X = B

Per ottenere la soluzione di un sistema-equazione matriciale, basta scrivre l'equazione, dopo avere definito le matrici A e B, e automaticamente verrà fornita la soluzione.
Nota. La matrice X non deve essere conosciuta, cioè non deve essere stata già registrata in memoria, altrimenti avremo un messaggio di errore.

Esempio

A:= [1 2; 3 4];
B := [-1; 0];
A*X = B

Dove X è la matrice incognita. Otteniamo, per X:

>X=
        2.0000
       -1.5000

Possiamo verificare la soluzione calcolando il prodotto:
A*X
ottenendo:
>A*X=
       -1.0000
        0.0000

Ecco qualche altro esempio di sistema lineare di equazioni:

>A:= [2 56 4; 1 3 -1; -1 1 2]
>A
        2.0000     56.0000      4.0000
        1.0000      3.0000     -1.0000
       -1.0000      1.0000      2.0000
>B:= [1;2;3]
>B
        1.0000
        2.0000
        3.0000

 >A*X=B
otteniamo:
>X=
       15.8846
       -1.2692
       10.0769

Esempio

Posto:

>A:= [2 1 5 1;1 1 -3 -4;3 6 -2 1;2 2 2 -3];
>B:= [5;-1;8;2]

la soluzione di:
A*X=B
è:

>X=
        2.0000
        0.2000
        0.0000
        0.8000

Esempio:

>A:= [1 2; 3 4];
B:= [-1 -2];
A*Z = B'

Z=
        0.0000
       -0.5000

Esempio
La soluzione dell'equazione:

>H*A=B
è:

>H=
       -1.0000      0.0000

Esempio

A:= [2  6 4;1 3 -1;-1 1 2];
B:= [1;2;3];
Z*A=B'

>Z=
        0.7083     -0.6667     -0.2500

Operatore punto

E' possibile esegure le operazione tra gli elementi di due matrici tramite l'operatore punto. Questo è possibile usando il punto dopo il primo operando e prima di un operratore.

L'espressione matriciale:
A.*B
per esempio, indica la matrice ottenuta moltiplicando ciascun elemento della matrice A per ciascun elemento della matrice B.

Esempio

A:= [1 2; 3 4];
B:= [-1 0;2 -3];
A.*B

fornisce la matrice:
>A.*B=
       -1.0000      0.0000
        6.0000    -12.0000

 Divisione:

A./B
       -1.0000    Infinity
        1.5000     -1.3333

Prodotto di un numero per una matrice

Possiamo moltiplicare un nmero per una matrice.
Esempio

L'espressione: -3*A, con A definita sopra, fornisce la matrice:


>-3*A=
       -3.0000     -6.0000
       -9.0000    -12.0000
   
Altri esempi

>A:= [1 2; 3 4]
>A
        1.0000      2.0000
        3.0000      4.0000
>([1 -1]*A)'=
       -2.0000
       -2.0000


Esempio
>A:= [1 2; 3 4];
A'''+3*A

Si ottiene:

>A'''+3*A=
        4.0000      9.0000
       11.0000     16.0000

Elenco comandi

    Abbiamo visto che, tramite l'area comandi possiamo inserire dei comandi prestabiliti, dove un comando può essere seguito da altre informazioni. Qui riportiamo l'elenco dei comandi.

• variabili. Visualizza l'elenco delle variabili attive.            
• plot3D  (plot3d). Visualizza l'elenco degli oggetti grafici in 3D visualizzati
  
•  cancella (clear). Si può cancellare una variabile o una funzione. La funzione deve essere individuata dal nome seguito da una coppia di parentesi tonde. Stessa cosa per le funzioni a tratti.
• equazione (Equazione, equation,  eq). Il comando: eq eqOnda: wave(x,y) = 0, [x,y]   comunica che eqOnda è il nome di una equazione in cui il primo membro è la funzinone wave, già utilizzata in precedenza e predefinita. Poiché wave(x, y) = sin(x^2+y^2), abbiamo definito eqOnda come sin(x^2+y^2) = 0.  Facendo plottare eqOnda, avremo un insieme di punti rappresentanti un insieme di soluzioni dell'equazione, come mostrato dalla figura. Naturalmente, possiamo utilizzare, nel definire una equazione, solo nomi di funzioni, non di sistemi di equazioni parametriche.
  

• plot2D, plot3D. Questi comandi provocano la visualizzazione  dell'elenco di tutti i grafici visualizzati nella finestra 2D o nella finestra 3D.       
• Punto (punto, point). Questa parola, seguita da una terna di coordinate cartesiane, permette di definire un punto nello spazio. Il comando punto A: 3, 5, -10, per esempio, definisce il punto A le cui coordinate sono x := 3, y := 5 e z := -10. Una volta definito un punto, questo appare nel box degli oggetto 3D  da visualizzare e per visualizzare A bisogna selezionarlo da questo Box e poi premere l'icona  .         
• punti  (points). Permette di visualizzare nella lavagna l'elenco dei punti presenti in memoria.        
• segmento (seg). Serve per definire un segmento; questo comando deve essere seguito dal nome del segmento e dai nomi di due punti precedentemente definiti: seg AB: A,B definisce il segmento di nome AB, composto dai due pumti estremi A e B.
  
• colore nomeOggetto: R,G,B,T. Esempio: colore cone: 200, 100, 100, 1.
• vettore(vector). Simile alla definizione di segmento, solo che l'ordine in cui i punti vengono inseriti è importante per determinare il verso del vettore: la punta corrisponderà al secondo punto inserito. Esempio:  punto V1: 0,5,10;
  punto V2: 10,5, 7;vettore V1V2: V1, V2. Questi tre comandi permettono di definire il vettore V1V2 il cui verso va da V1 a V2. Da notare, infine, che possiamo visualizzare ciascun punto V1 e V2 selezionando questi dal box funzioni 3D e premere il tasto   .           
• faccia(o poligono, polygon, pol). Definisce una superficie avente per vertici un certo insieme di punti, precedentemente definiti. Esempio: faccia ABC: A, B, C: Otteniamo un triangolo di vertici A, B e C.
  
• solido. solido nome: lato1, lato2, ... definisce un solido i cui lati sono lato1, lato2,...
• visSolido. Permette di visualizzare un solido precedentemente definito. Esempio: visSolido icosaedro;
• spezzata3D. Permette di disegnare un insieme di segmenti nello spazio.       
  
• cono. cono nome: raggio, altezza, numero divisioni definisce un cono con un certo raggio, una certa altezza, un certo numero di divisioni della circonferenza di base e con un certo tipo di colore RGB. Si veda cono per più dettagli.
  

Lettore libri


MathPlace è in grado di leggere e visualizzare file di tipo HTML o di tipo MAC in modo da rendere agevole la lettura. Come già detto, i file con estensione MAC sono ipertesti criptati. Vediamo alcune caratteristiche di questo lettore.
Abbiamo visto, nella prima parte, che possiamo attivare la finestra lettura libri  tramite la voce del menu "Libri" o utilizzando l'icona: .                 



Il risultato è che viene attivata la seguente finestra, mostrata parzialmente in figura, da dove è possibile, tramite il menu "Carica libro", cercare un libro MAC o un file html da caricare.


In pratica, cliccando sulla voce 'Carica libro', si attiva un menu a tendine da dove possiamo scegliere se caricare: un testo MAC, un testo html o il presente manuale.







Una volta caricato, il lettore libri determina automaticamente l'indice e lo visualizza come albero nella parte sinistra del video, in una finestra a parte, come mostra la precedente figura.

L'indice degli argomenti ci permette di spostarci in un qualsiasi capitolo o paragrafo in modo agevole. Essendo poi i libri organizzati come ipertesti, è possibile, cliccando su un  qualsiasi link, saltare ad un'altra parte del testo, ma con la possibilità di ritornare al punto iniziale utilizzando l'icona: .


Tasto Prova Tu Stesso

Il lettore libri di MathPlace permette, premendo un tasto come il precedente, ove presente, di  far eseguire certe istruzioni come se le avessomo scritte noi nell'area comandi; se le istruzioni lo prevedono, viene inoltre attivata una finestra per i grafici (2D o 3D) dove vengono visualizzati i relativi grafici.
Le operazioni che MathPlace svolge, in modo automatico e dopo il click su questo bottone, sono:

• scrive nell'area comandi le istruzioni da eseguire, come se le avessimo scritte noi;
• esegue queste istruzioni;
• attiva e mette in primo piano la finestra interessata;
• inserisce nel combo box -quello per il 2D o il 3D a seconda della situazione- il nome dell'oggetto matematico di cui si vuole il grafico;
  
• disegna il grafico relativo, in generale, o comunque ci permette di selezionre l'oggetto di cui vogliamo il grafico utilizzando il relativo combo box.

Osservazioni (Tooltip). Un'altra caratteristica è la presenza di Tooltip, cioè di un breve messaggio che, al passaggio del mouse, viene mostrato in un riquadro colorato, come mostrato nella figura seguente.

Questa funzionalità è utile quando si vuole far ricordare un concetto, richiamare una definizione o qualsiasi cosa utile per quello che si sta leggendo.